VARIANZA
Es el promedio del cuadro de las distancias entre cada observación y la mediana aritmética del conjunto de observación.
DERIVACIÓN TÍPICA:
(s) es la varianza viene dada por las mismas unidades que la variable pero el cuadro, para evitar este problema usar como medida de dispersión la desviación típica que se define como la raíz cuadrada positiva de las varianza.
RANGO MUESTRAL:
Es la diferencia entre valor de las observaciones mayor y menor.
Medidas de dispersión relativas
Coeficiente de variación de pearson
Cuando se requiere comprar el grado de dispersión de dos distribuciones que nos vienen dadas en las mismas unidades o que las medidas no son iguales se utiliza el coeficiente de variación de pearsón que se define como el cociente entre la desviación típica y el valor absoluto de la media aritmética.
CV representa el numero de veces que la desviación típica contiene a la media aritmética y por lo tanto cuando mayor es CV mayor es la dispersión y menor la representatividad de la media.
MEDIDAS DE FORMA
ASIMETRÍA
El objetivo de la media de asimetría .es, sin necesidad de dibujar la distribución de frecuencias, estudiar la deformación horizontal de los valores de la variable respecto al valor central de la media.
Diremos que la distribución es simétrica cuando su mediana, su moda y su media aritmética coinciden:
Diremos que una distribución es asimétrica a la derecha si las frecuencias (absolutas o relativas).descienden mas lentamente por la derecha que por la izquierda.
Su valor es cero cuando la distribución es simétrica positiva cuando existe asimetría a la derecha y negativa cuando existe asimetría a la izquierda.
APUNTAMIENTO POR CURTOSIS
Miden la mayor o menor cantidad de datos que se agrupan en torno a la moda.
Se define tres tipos de distribución según su grado de curtosis.
• Distribución mesocurtica:
Presenta un grado de concentración medio alrededor de los valores centrales de una variable (el mismo que presenta una distribución normal).
• Distribución leptocurtica:
Presenta un elevado grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable.
• Distribución platicurtica: Presenta un reducido grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable
4. CORRELACION
En probabilidad y estadística la correlación indica la fuerza y la dirección de una relación lineal entre 2 variables aleatorias una de ellas varia sistemáticamente y existe relación si al aumentar los valores no implica por si mismo, ninguna relación de casualidad.
COEFICIENTES DE CORRELACION
El mas conocido es el coeficiente de correlación de pearson (introducido en realidad por Francis Galton), se obtiene dividiendo la covarianza de 2 variables
Otros coeficientes son:
- Coeficiente de correlación de sperman
- Correlacion canonica
RECTA DE REGRESION
Las rectas de regresión son las que mejor ajustan a la nube de puntos generada por una distribución binominal.
- La recta de regresión de Y sobre X:
- La recta de regresión de x sobre y:
La correlación (r) de las rectas determinaran la calidad del ajuste este es cercano o igual a 1, será bueno.
Ambas rectas de regresión de regresión se intersecan en un punto llamado centro de gravedad de la distribución
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martes, 10 de noviembre de 2009
2.Medidas de dispercion
Las medidas de dispersión son las que se utilizan con mayor frecuencia, para conocer la variabilidad general de un conjunto de datos o medir su grado de dispersión respecto a una medida de tendencia central.
Estas nos aportan información acerca de la diseminación o variabilidad de los datos en un conjunto.
Las medidas de dispersión y las medidas de tendencia central nos permiten describir de manera mas precisa las características de un conjunto de datos.
Las medidas de dispersión son las siguientes:
• Rango
• Rango entre percentiles
• Desviación media
• Varianza
• Desviación típica
• Covarianza
• correlacion
AMPLITUD O RANGO
El rango es la diferencia entre el valor mayor y el valor menor en un conjunto de números. Esto es:
Rango = valor mayor – valor menor.
Y a continuación se presenta un ejemplo:
Calcular el rango en el conjunto:
Xﭐ = (235, 298, 710, 438,976)
Solución:
Rango = 976-235 =741
RANGO ENTRE PERCENTILES 10-90
Este rango nos permite conocer los valores extremos entre los cuales se ubica el 80 % de los datos al eliminar un decil (10 %) en ambos extremos.
La obtención es mediante la diferencia de los percentiles 90 y 10 o los deciles 9y1.
DESVIACION MEDIA
La desviación media es el cociente que resulta de la suma de los valores absolutos de sus desviaciones respecto ala media aritmética dividida por el total de datos.
A pesar de que esta es una medida razonable es poco utilizada por manejar el valor absoluto, ya que dificulta el manejo algebraico que es importante en inferencia estadística.
La desviación media se representa por
Ejemplo
Calcular la desviación media de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
VARIANZA
Llamamos varianza al promedio de desviaciones de cuadradas de la media aritmética.
Se representa por:
(s²)
Si se maneja el total de elementos de una población, se utiliza el segundo símbolo y se llama varianza censal. La ecuación es:
= 1 K
N Σ f i (xi - x )
Donde:
N = Σ f i = numero total de elementos en el conjunto de datos.
K = numero de intervalos de clase.
Fi = frecuencia absoluta de i-esimo intervalo de clase.
Xi = marca de clase del i-esimo intervalo de clase.
Xi – X = desviación de la marca de clase del i –esimo intervalo de clase respecto ala media aritmética.
Si se trabaja con una parte de la población, se utiliza el símbolo (s²), ala varianza se le llama varianza muestral. Y para calcularla se sustituye N por N -1 en la ecuación.
De esta forma:
1
s² = Σ (Xi – X)²
N-1
Cuando no se especifica el tipo de población, (censal o muestral) o cuando no se va a realizar estudios específicos de inferencia estadística, podemos utilizar simplemente la siguiente:
1
s² = Σ (Xi – X)²
N
Ejemplo:
Calcular la varianza de los siguientes conjuntos:
Xi = {-6,-2, 0, 4, 5, 8,12}
Yi = {2,2.5, 2.8, 3,3.3, 3.4, 4}
Solución:
En primer lugar se calcula la media aritmética:
Como se puede apreciar ambos conjuntos tienen la misma media aritmética, la cual es:
X = 3 Y= 3
• Las desviaciones cuadradas con respecto ala media del primer conjunto son:
(X1 –X)² = (-6-3)² = 81
(X2 – X)² = (-2-3)² = 25
(X3 –X)² = (0-3)² = 9
(X4 - X)² = (4-3)² = 1
(X5 – X)² = (5-3)² = 4
(X6 – X)² = (8-3)² = 25
(X7 – X)² = (12-3)² = 81
Al sustituir en la ecuación:
1
s² = Σ (Xi – X)² = 1 / 7 (81+25+9+1+4+25+81)
N
S² = 1 / 7 (226) = 32.28571429
• Las desviaciones cuadradas para el segundo conjunto son así:
(Y1 –Y)² = (2-3)² = 1
(Y2 – Y)² = (2.5-3)² =0. 25
(Y3 –Y)² = (2.8-3)² = 0.04
(Y4 - Y)² = (3-3)² = 0
(Y5 – Y)² = (3.3-3)² = 0.09
(Y6 – Y)² = (3.4-3)² = 0.16
(Y7 – Y)² = (4-3)² = 1
Se sustituyen los datos en la ecuación:
1
s² = Σ (Yi – Y)² = 1 / 7 (1+0.25+0.04+0+0.09+0.16+1)
N
S² = 1 / 7 (2.54)= 0.362857142
Como podemos apreciar el segundo conjunto es evidentemente más homogéneo por lo que su dispersión es menor.
DESVIACIÓN TIPICA
La desviación típica también es llamada desviación estándar. Equivale a la raíz cuadrada del cuadrado medio de las desviaciones de la media o bien ala raíz cuadrada positiva de la varianza.
La desviación típica utiliza los símbolos б o S como identificación para la desviación típica censal o muestral, respectivamente.
Las ecuaciones que se utilizan para representar la desviación típica en datos sin agrupar obtenidas a partir de la varianza son:
1
б = √ Σ (Xi – X)²
N
Estas nos aportan información acerca de la diseminación o variabilidad de los datos en un conjunto.
Las medidas de dispersión y las medidas de tendencia central nos permiten describir de manera mas precisa las características de un conjunto de datos.
Las medidas de dispersión son las siguientes:
• Rango
• Rango entre percentiles
• Desviación media
• Varianza
• Desviación típica
• Covarianza
• correlacion
AMPLITUD O RANGO
El rango es la diferencia entre el valor mayor y el valor menor en un conjunto de números. Esto es:
Rango = valor mayor – valor menor.
Y a continuación se presenta un ejemplo:
Calcular el rango en el conjunto:
Xﭐ = (235, 298, 710, 438,976)
Solución:
Rango = 976-235 =741
RANGO ENTRE PERCENTILES 10-90
Este rango nos permite conocer los valores extremos entre los cuales se ubica el 80 % de los datos al eliminar un decil (10 %) en ambos extremos.
La obtención es mediante la diferencia de los percentiles 90 y 10 o los deciles 9y1.
DESVIACION MEDIA
La desviación media es el cociente que resulta de la suma de los valores absolutos de sus desviaciones respecto ala media aritmética dividida por el total de datos.
A pesar de que esta es una medida razonable es poco utilizada por manejar el valor absoluto, ya que dificulta el manejo algebraico que es importante en inferencia estadística.
La desviación media se representa por
Ejemplo
Calcular la desviación media de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
VARIANZA
Llamamos varianza al promedio de desviaciones de cuadradas de la media aritmética.
Se representa por:
(s²)
Si se maneja el total de elementos de una población, se utiliza el segundo símbolo y se llama varianza censal. La ecuación es:
= 1 K
N Σ f i (xi - x )
Donde:
N = Σ f i = numero total de elementos en el conjunto de datos.
K = numero de intervalos de clase.
Fi = frecuencia absoluta de i-esimo intervalo de clase.
Xi = marca de clase del i-esimo intervalo de clase.
Xi – X = desviación de la marca de clase del i –esimo intervalo de clase respecto ala media aritmética.
Si se trabaja con una parte de la población, se utiliza el símbolo (s²), ala varianza se le llama varianza muestral. Y para calcularla se sustituye N por N -1 en la ecuación.
De esta forma:
1
s² = Σ (Xi – X)²
N-1
Cuando no se especifica el tipo de población, (censal o muestral) o cuando no se va a realizar estudios específicos de inferencia estadística, podemos utilizar simplemente la siguiente:
1
s² = Σ (Xi – X)²
N
Ejemplo:
Calcular la varianza de los siguientes conjuntos:
Xi = {-6,-2, 0, 4, 5, 8,12}
Yi = {2,2.5, 2.8, 3,3.3, 3.4, 4}
Solución:
En primer lugar se calcula la media aritmética:
Como se puede apreciar ambos conjuntos tienen la misma media aritmética, la cual es:
X = 3 Y= 3
• Las desviaciones cuadradas con respecto ala media del primer conjunto son:
(X1 –X)² = (-6-3)² = 81
(X2 – X)² = (-2-3)² = 25
(X3 –X)² = (0-3)² = 9
(X4 - X)² = (4-3)² = 1
(X5 – X)² = (5-3)² = 4
(X6 – X)² = (8-3)² = 25
(X7 – X)² = (12-3)² = 81
Al sustituir en la ecuación:
1
s² = Σ (Xi – X)² = 1 / 7 (81+25+9+1+4+25+81)
N
S² = 1 / 7 (226) = 32.28571429
• Las desviaciones cuadradas para el segundo conjunto son así:
(Y1 –Y)² = (2-3)² = 1
(Y2 – Y)² = (2.5-3)² =0. 25
(Y3 –Y)² = (2.8-3)² = 0.04
(Y4 - Y)² = (3-3)² = 0
(Y5 – Y)² = (3.3-3)² = 0.09
(Y6 – Y)² = (3.4-3)² = 0.16
(Y7 – Y)² = (4-3)² = 1
Se sustituyen los datos en la ecuación:
1
s² = Σ (Yi – Y)² = 1 / 7 (1+0.25+0.04+0+0.09+0.16+1)
N
S² = 1 / 7 (2.54)= 0.362857142
Como podemos apreciar el segundo conjunto es evidentemente más homogéneo por lo que su dispersión es menor.
DESVIACIÓN TIPICA
La desviación típica también es llamada desviación estándar. Equivale a la raíz cuadrada del cuadrado medio de las desviaciones de la media o bien ala raíz cuadrada positiva de la varianza.
La desviación típica utiliza los símbolos б o S como identificación para la desviación típica censal o muestral, respectivamente.
Las ecuaciones que se utilizan para representar la desviación típica en datos sin agrupar obtenidas a partir de la varianza son:
1
б = √ Σ (Xi – X)²
N
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